看抽象代数的时候突然想到，群的 Cayley 表和数独一样，都要求每行（列）中的元素互异。那么能不能按照群的规则（即结合律）出一道变种数独题呢？于是简单试了一下。
规则：
- 题面是一个 \(10 \times 10\) 数表（行和列从 \(0\) 开始计数），元素为 \(0 \sim 9\) 的整数；第 \(0\) 行和第 \(0\) 列的值已经给出
- 与普通数独相同，每行、每列的元素不能重复；注意没有九宫格的条件
- 若 \(i\) 行 \(j\) 列的值为 \(x\)，\(j\) 行 \(k\) 列的值为 \(y\)，则 \(i\) 行 \(y\) 列和 \(x\) 行 \(k\) 列的值相同
TLDR：补全一个以 \(0\) 为单位元的 \(10\) 阶群的乘法表。（提示：\(10\) 阶群只有 \(\mathrm{Z}_{10}\) 和 \(\mathrm{D}_{10}\) 两种）
题 1：（表中横、竖线仅作美化排版用途，无实际含义）
\[ \begin{array} {r|rrr|rrr|rrr} 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ \hline 1 & 0 & & & & & & & & \\ 2 & & & 1 & & & & & & \\ 3 & & 4 & & & & & & & \\ \hline 4 & & & & & & & & & \\ 5 & & & & 2 & & & & & \\ 6 & & & & & & & & & \\ \hline 7 & & & & & & 3 & & & \\ 8 & & & & & 9 & & & & \\ 9 & & & & & & & & & \\ \end{array} \]解析
表中 \(2 \times 3 \ne 3 \times 2\)，说明这个群一定是 \(\mathrm{D}_{10}\). 这里先明确一下记号：\(\mathrm{D}_{10} = \langle r, s \mid r^5 = s^2 = e,\ sr = r^{-1}s \rangle\).
解决题目的关键在于理解 \(\mathrm{D}_{10}\) 的自同构。具体而言，对于任意的 \(n \in \{1, 2, 3, 4\},\ m \in \{0, 1, 2, 3, 4\}\)，存在一个自同构，把 \(r^n\) 映射到 \(r\)，把 \(r^m s\) 映射到 \(s\).
\(0\) 是单位元，而 \(1 \times 1 = 0\)，说明 \(1\) 是“s 型”元素。根据这个群的自同构，我们可以确定，假如本题有解，那么一定存在一个 \(1\) 对应群中元素 \(s\)（下文简写为 \(1 \sim s\)）的解。那么我们不妨设 \(1 \sim s\).
\(2 \times 3 = 1\)，说明 \(2\) 和 \(3\) 一个是“r 型”，一个是“s 型”。注意到 \(5 \times (3 \times 2) = 2\)，因此 \(5\) 和 \(3\) 互为逆元。“s 型”元素的逆元都是它本身，因此 \(3\) 是“r 型”，\(2\) 是“s 型”。
不妨设 \(3 \sim r\)，则 \(2 \sim rs\)，\(5 \sim r^4\). \(3 \times 2 = 4\)，说明 \(4 \sim r^2 s\).
这是目前已确定的元素：
| \(e\) | \(s\) | \(rs\) | \(r\) | \(r^2 s\) | \(r^4\) | | | | |
还剩下 \(r^2,\, r^3,\, r^3 s,\, r^4s\) 尚未确定。
\(7 \times 6 = 3\)，说明 \(6\) 和 \(7\) 要么都是“r 型”，要么都是“s 型”。而 \(r^2 \times r^3 = r^3 \times r^2 = e\)，说明 \(6\) 和 \(7\) 只能都是“s 型”，因此 \(6 \sim r^3 s\)，\(7 \sim r^4 s\).
\(8 \times 5 = 9\)，而 \(8\) 和 \(9\) 只能在 \(r^2,\, r^3\) 中取值，因此 \(8 \sim r^3\)，\(9 \sim r^2\).
完整的对应关系如下：
| \(e\) | \(s\) | \(rs\) | \(r\) | \(r^2 s\) | \(r^4\) | \(r^3 s\) | \(r^4 s\) | \(r^3\) | \(r^2\) |
据此把乘法表补全即可。
答案：
\[ \begin{array} {r|rrr|rrr|rrr} 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ \hline 1 & 0 & 5 & 7 & 8 & 2 & 9 & 3 & 4 & 6 \\ 2 & 3 & 0 & 1 & 5 & 4 & 8 & 9 & 6 & 7 \\ 3 & 2 & 4 & 9 & 6 & 0 & 7 & 1 & 5 & 8 \\ \hline 4 & 9 & 3 & 2 & 0 & 6 & 5 & 8 & 7 & 1 \\ 5 & 7 & 1 & 0 & 2 & 8 & 4 & 6 & 9 & 3 \\ 6 & 8 & 9 & 4 & 3 & 7 & 0 & 5 & 1 & 2 \\ \hline 7 & 5 & 8 & 6 & 9 & 1 & 3 & 0 & 2 & 4 \\ 8 & 6 & 7 & 5 & 1 & 9 & 2 & 4 & 3 & 0 \\ 9 & 4 & 6 & 8 & 7 & 3 & 1 & 2 & 0 & 5 \\ \end{array} \]
题 2：
\[ \begin{array} {r|rrr|rrr|rrr} 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ \hline 1 & & & & & & & & & \\ 2 & & & & & & & & & \\ 3 & & & 0 & & & & & & 4 \\ \hline 4 & & & & & & & & 0 & \\ 5 & & 7 & & & & & & & \\ 6 & & & & & & & & & \\ \hline 7 & & & & & & & & & \\ 8 & & & & & 2 & & & & \\ 9 & & & & 1 & & & & & \\ \end{array} \]解析
用和题 1 类似的方法，可以发现 \(\mathrm{D}_{10}\) 是不行的。因此，这个群只能是 \(\mathrm{Z}_{10}\). 记 \(\mathrm{Z}_{10} = \langle g \mid g^{10} = e \rangle\).
\(3 \times 3 = 0\)，说明 \(3\) 的阶为 \(2\)，因此 \(3 \sim g^5\).
考虑从 \(4\) 出发往后推。但我们还不确定 \(4\) 的阶是 \(5\) 还是 \(10\). 先假设 \(4\) 的阶是 \(5\)，那么不妨设 \(4 \sim g^2\).
\(3 \times 9 = 4\)，说明 \(9 \sim g^7\). \(4 \times 8 = 0\)，说明 \(8 \sim g^8\). \(9 \times 4 = 1\)，说明 \(1 \sim g^9\).
这是目前已确定的元素：
| \(e\) | \(g^9\) | | \(g^5\) | \(g^2\) | | | | \(g^8\) | \(g^7\) |
还剩下 \(g,\, g^3,\, g^4,\, g^6\) 尚未确定。
还有两个条件没有用到：\(5 \times 2 = 7\) 和 \(8 \times 5 = 2\). 对 \(8 \times 5 \times 2\) 使用结合律，得到 \(2 \times 2 = 8 \times 7\).
这说明 \(7\) 是 \(g^4\) 或者 \(g^6\). 若 \(7 \sim g^4\)，则 \(2 \sim g\) 或 \(2 \sim g^6\)；若 \(7 \sim g^6\)，则 \(2 \sim g^2\) 或 \(2 \sim g^7\)，矛盾。因此，\(7 \sim g^4\).
\(5 \times 2 = 7\)，若 \(2 \sim g\)，则 \(5 \sim g^3\)；若 \(2 \sim g^6\)，则 \(5 \sim g^8\)，矛盾。因此，\(2 \sim g\)，\(5 \sim g^3\)，\(6 \sim g^6\).
完整的对应关系如下：
| \(e\) | \(g^9\) | \(g\) | \(g^5\) | \(g^2\) | \(g^3\) | \(g^6\) | \(g^4\) | \(g^8\) | \(g^7\) |
据此把乘法表补全即可。
答案：
\[ \begin{array} {r|rrr|rrr|rrr} 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ \hline 1 & 8 & 0 & 7 & 2 & 4 & 3 & 5 & 9 & 6 \\ 2 & 0 & 4 & 6 & 5 & 7 & 9 & 3 & 1 & 8 \\ 3 & 7 & 6 & 0 & 9 & 8 & 2 & 1 & 5 & 4 \\ \hline 4 & 2 & 5 & 9 & 7 & 3 & 8 & 6 & 0 & 1 \\ 5 & 4 & 7 & 8 & 3 & 6 & 1 & 9 & 2 & 0 \\ 6 & 3 & 9 & 2 & 8 & 1 & 4 & 0 & 7 & 5 \\ \hline 7 & 5 & 3 & 1 & 6 & 9 & 0 & 8 & 4 & 2 \\ 8 & 9 & 1 & 5 & 0 & 2 & 7 & 4 & 6 & 3 \\ 9 & 6 & 8 & 4 & 1 & 0 & 5 & 2 & 3 & 7 \\ \end{array} \]
以下是作者的一些疑问：
- 存不存在只有 5 个已知数且有唯一解的题面？
- 有没有比较有效的方法构造这类题目的 \(8 \times 8\) 版本？